Analyse dimensionnelle

Mon problème consiste à comprendre comment un fil d'un certain matériau peut se courber dans une goutte de liquide jusqu'à s'embobiner à l'intérieur.

fil de soie d'araignée embobiné dans une goutte d'eau

Pour cela, énumérons d'abord les variables physiques dont dépend mon problème: h, D, I, E, γ. Ces variables sont respectivement l'épaisseur du fil, le diamètre de la goutte, le second moment d'inertie, le module de Young du fil et la tension de surface air/liquide.
Ces variables ont pour dimension:

[h] = [D] = L

[E]=M / LT²

[I] = L⁴

[γ] = [E]=M / T²

On a donc 5 variables physique qui dépendent de 3 unités fondamentales. Le théorème de Vaschy-Buckingham nous dit donc qu'il est possible de construire 2 groupes indépendant sans dimension.

Π₁ = hDI^a γ^b

[Π₁] = L²L ^4aM^bT^-2b = M⁰L⁰T<sup>0

On trouve alors,</sup>
Π₁= hD/√I

et donc on a que,

D~√I/h   (1)

Ensuite, pour le second groupe, on considère:
Π₂ = hDE^a γ^b

[Π₂] = L^2-aM^a+bT^-2a-2b = M⁰L⁰T^{0
Ce qui donne,}
Π₂ = hDE²/γ²

^{En remplaçant D dans l'équation précédente par la relation  (1), on obtient:}

Π₂  = √IE²/γ²
La relation que nous obtenons à présent exprime la ntre la compétition entre la rigidité d'une part et la tension de surface d'autre part.