Analyse dimensionnelle

Le phénomène que je compte expliquer dans ma vidéo est l'évaporation d'une goutte liquide.

Nous allons observer le comportement du volume de la goutte en fonction du temps et ainsi en déduire une conclusion sur le temps d'évaporation.

Nous avons vu dans un précédent "assignment" que le flux de vapeur à l'extérieur de la goutte est donné par la loi de Fick :

$$\vec{J}=-D \vec{\nabla}{\phi}$$

Où $D$ est le coefficient de diffusion de vapeur dans l'air et $\phi$ la concentration de vapeur.

Et nous avons également vu que pour obtenir le profil de ce flux, il fallait, en considérant les conditions de bords, résoudre l'équation de diffusion :

$$\nabla^2{\phi}=0$$

Ce problème dépend fortement de la géométrie de la goutte.

Considérons une goutte, en forme d'une portion de sphère, reposant sur un substrat avec un angle $\theta_c$ constant qu'on appelle angle de contact. La variation du volume est donnée par l'intégrale du taux d'évaporation $J$ sur la surface de la goutte :

$$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{dV}{dt} = -\langle J\rangle S \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1) $$

avec $\langle J \rangle$ le taux d'évaporation moyen sur la surface de la goutte, où $J$ est donné par la loi de Fick, montrée plus haut. Mais comme le coefficient de diffusion de la vapeur dans l'air est un simple facteur, on peut écrire : $$J \propto \vec{\nabla}{\phi}|_i . \vec{n}$$

où $\vec{n}$ est le vecteur normal à la surface de la goutte.

Si on cherche à adimensionner $J$, la seule longueur caractéristique pertinente est le rayon $R$ de l'aire mouillée par la goutte. En notant $\phi(\theta_c)\propto \vec{\nabla}{\phi}|_i$, la solution explicite du taux d'évaporation, il apparaît que :

$$\langle J \rangle\propto\frac{\phi_{sat}}{R}.\langle\phi(\theta_c)\rangle$$

Nous pouvons alors injecter cette relation dans l'équation $(1)$. Nous savons que $\phi$ ne dépend que de la géométrie du problème, et étant donné que $\phi_{sat}$ est un facteur qui est constant sur toute la surface de la goutte, on obtient que :

$$\frac{dV}{dt}\propto\frac{-S}{R} \ \ \ \ => \ \ \ \ \fbox{$\frac{dV}{dt}\propto -R$}$$

On sait maintenant que la variation temporelle du volume dépend du rayon de manière linéaire.

Si l'on représente cela sur un graphique, on a :

Ainsi, pour une goutte de volume $V$ et de rayon d'aire mouillée $R$, il faut un temps $\Delta{t}$ pour qu'elle s'évapore.

Comparons, à présent, 2 gouttes de même volume mais de rayon $R$ différent. C'est-à-dire que les 2 gouttes sont étalées différemment, et donc que leur mouillage n'est pas identique :

Pour la goutte 1, nous avons un rayon $R_1$ et pour la goutte 2, un rayon $R_2$. La goutte 2 est plus étalée que la goutte 1, ainsi son rayon est plus grand : $R_1 < R_2$

Cela implique que :

$$\frac{dV}{dt}\propto -R_1 > \frac{dV}{dt}\propto -R_2$$

Ce résultat a comme conséquence directe que les temps d'évaporation varient et on a : $\Delta{t_2}<\Delta{t_1}$. Voyons-le sur le schéma suivant :

Le résultat de cette analyse dimensionnelle permet donc d'affirmer que au plus la goutte s'étale sur le substrat, au plus son évaporation sera rapide.

Références :

Geoffroy Guéna, Discussions sur l’évaporation d’une gouttelette mouillante, Analyse de données, Statistiques et Probabilités, Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2007, Français, <tel-00292745>